求连续型随机变量的分布函数的一种教法

吴文英   牛玉玲   刘艳霞   张 圩

对于连续型随机变量，若已知概率密度函数，求分布函数。一般地，根据分布函数的定义，即求出。但是在实际的教学中，有些学生不能够很好的求出这个积分上限函数。下面从概率密度函数的形式上是否是分段函数进行分类，从而用一种相对比较简便的方法求出它的分布函数。

一、概率密度函数分类

第一类概率密度函数是非分段函数类的。

例如，标准正态分布

对于此类函数，用定义法去求分布函数

事实上，在本科学习阶段此类的函数是不多见的，因而主要来学习下面一类概率密度函数。

第二类概率密度函数是分段函数类的。如均匀分布，指数分布等，由的性质可知，在某些区间上必有，这时则有。在的连续点处，有，也就是说，在每一个分段区间内，，即是的原函数，且是连续函数，综上可知，是的一个连续的原函数。

二、求的一个连续的原函数

下面看具体的例子

例1若随机变量具有概率密度函数，求它的分布函数。

解：

由分布函数的性质因为，可知，则有

例2（均匀分布）

设随机变量具有概率密度函数，求它的分布函数。

解：由上述分析可知，

由，可知，即。

从而有

。

例3（指数分布）

若随机变量具有概率密度函数，求它的分布函数。

解： ，

由，有，得。

从而有

。.

例4连续型随机变量的概率密度函数为

，求的分布函数。

解：

由的连续性可知，即 ，得；

又由，即，得。

所以

。

三、结语

   由以上几个例子可以看到，此种方法对于概率密度函数是分段函数的情形去计算分布函数是比较简便的，确实避免了去求定积分这一比较麻烦的过程。（作者单位：燕京理工学院）