数列极限求法的探讨

贺电鹏

   极限是高等数学的一个重要的内容之一,数列极限求法是高等数学的最基本的也是最重要的计算内容.本文介绍了以下八种常用方法：数列极限的定义、数列极限的四则运算法则、单调有界定理、两边夹定理、两个重要极限、施笃兹定理、定积分定义、压缩性条件。

极限论是高等数学的基础.极限问题也是高等数学中的困难问题之一，求数列的极限方法有很多也很复杂,对于一些根据基本定义性质直接求极限问题(如:根据数列定义求极限,函数和差积商的极限运算法则,利用函数连续性求函数极限等等)就不多作说明了,在这里简单概括一些我们常用的求数列极限的方法。1.利用极限定义知识点  定义1 设为数列,为定数.若对任给的正数,总存在正整数,使得当时有,则称数列收敛于,定数称为数列的极限,并记作.

注：通常, 用定义法求数列极限有很大的局限性,它并不是求极限的好办法,但它是求数列极限的基本方法, 因为在用定义法求数列极限的过程中,可以加深对数列极限概念的理解,并且一些最基本的数列的极限也是依靠它来证明的.

利用定义法求数列极限,首先根据数列的特征,观察出可能的极限值;然后再用定义验证,其关键是找出与对应的.

例1求.

解 因为,

故对任给的,只要取,则当时,即有,

所以,.2.四则运算法则知识点  定理1 若 与为收敛数列,则,,也都是收敛数列,且有,.特别当为常数时有

若再假设及,则也是收敛数列,则有

注：四则运算法则有一定的适用条件，有限个数列加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则可以用,对于某些无穷多项的数列,应先应用其他方法,再用四则运算法则求极限.

例2计算  

解

3.利用单调有界定理知识点  定理2（单调有界定理）在实数系中,单调有界数列必有极限.

例3证明数列

收敛,并求其极限.

证 ,显然是递增的.用数学归纳法来证明数列是有上界的.

首先.假设,则,从而对一切有,即有上界.

由单调有界定理知,数列有极限,记为a .由于,故对上式两边同时取极限:,即,解得.

由数列极限的保不等式性知,是不可能的，所以,.4.利用两边夹定理（迫敛性）知识点  定理3（两边夹定理）设收敛数列都以为极限,数列满足:存在正整数,当时有:则数列收敛,且.

例4求.

解 由

从而,不等式两边同时开次得,

因为 ,,由迫敛性知,.

注:迫敛性是指若存在自然数,当时,恒有若 则,利用迫敛性求极限时,应注意将做适当的放大或缩小.5.利用两个重要极限知识点  两个重要极限

(1) (2) .

其中第一种重要极限可理解为,而第二种极限可以理解为或者.

注：两个重要求极限是求极限的一个重要手段.我们要根据题目中给出的条件灵活的选择适当的形式,以使运算更加便捷.

例5求.

解

.

例6求.    

解 因为,而,即,故,6.利用施笃兹定理知识点  定理4  设是单调增加的正无穷大量,（可以是有限量,）,则 .

例7设,,求.

解 由施笃兹公式

所以,.7.利用定积分定义知识点  定义2若在上可积,则对的任一分割,及介点都有,其中,.

例8求极限.

解 记,则,

它可看作在上对应于等分割以及介点的积分和.于是,故.8.利用压缩性条件知识点  定理5 设满足:则收敛.

例9设,求.

解 首先证明的存在,由已知条件

,

又显然,于是,,

故,于是存在,记为.则在上式中求极限:,即,又 故,,从而（舍去）.

极限的方法应该灵活应用,根据不同的题目选择适当的方法.并在做题的过程中及时总结，力争领悟每种方法的要领.才能更好地掌握极限的方法.更多的去理解极限求法的重点内涵.

求极限的方法还有很多,且有许多方法尚待我们不断努力去研究和探索.随着人类文明的不断进步,知识的不断扩展和更新,必会有越来越好的方法以供我们学习和研究.我们只有在以后的工作和学习中,善于利用自己已有的知识,并不断探索,以求更新的方法,来解决极限的求法问题,使极限的求法更加简单化.

（作者单位：河南理工大学万方科技学院）