一元函数不定积分教学中的习题变式与一题多解

刘 丽 涂开光

 不定积分的积分方法有很多种，不同的切入点解题方法不同，计算处理过程也就不同，针对大学中的不定积分教学内容多，课时少的特点，本校学生自学能力不足的特点。本文从一道不定积分习题出发，从各个不同的角度切入，来探讨不同的解题方法，并且将原习题进行微调三次，从不同的切入点得到不同的解题方法，既综合了各种积分方法的运用，又提高课堂上学生的凝聚程度，在不定积分教学复习课程当中取到了良好的教学效果。

 一、引言

在我校药学系的不定积分教学过程当中发现，当单纯的讲到某一种积分方法的时候，由于教材给出的例子和习题较为简单和具有代表性，每个同学都可以直接根据本堂课的所教的方法进行解题。但遇到要通过各种解题方法综合使用才可解的题型时，大部分学生计算处理很盲目，解题耗时长，还达不到满意的效果，一来是因为没有做到练习，二来不知道用哪种来解，非常的茫然。因此，本人在教学过程中，从不同的角度出发去解题，通过习题的微小变化，使学生可以做到举一反三，体会解题的角度、思路以及处理技巧，帮助同学熟练的、有针对性的选择合适的方法进行解题，取到效果的教学良好。

  二、原题。

这道习题非常简单，大部分学生都可以看到分子与根式项里的关系，而采用最熟悉的第一换元法来进行计算，令，则，详细计算过程如下： 。在教学过程中会提出另外两个角度，一个是根式的存在，要求学生试着用“去掉根式”的思想，进行解题，但是行不通的，越来越复杂。另一个角度是形如，要求学生用三角函数代换的方法试解题，也是行不通的，越来越繁琐。这样做的目的，是为了在接下来的第一次变式中，学生能够有个解题的指引，知道从不同的切入点去解题。

 三、原题变式（一）。

变形以后，根式、的元素依然存在，很自然的就可以想到去根式，三角变换的方法来解题。首先我们来看看去掉根式的情形，采用的是第二换元法，具体解法如下：

3.1解法1，去根式

令，则，则原式===。

3.2解法2，三角代换

当，令，，则原式=

===；当，令，则，根据上一步的结论有：====；综合两步结果：

。

3.3解法3，提取

在遇到形如的时候，另一个角度就是提取，原式==，分两种情况讨论，当时，原式=

===

=，当，读者可以利用3.2中相同的处理方式得到原式=，综合后即为：原式=。

3.4解法四，倒代法

在一类不定积分中分子的幂比分母的小，计算过程中非常不便。所以为了改变分子和分母的幂，还可以使用倒代法。令，则，原式=

=，当，原式===，当，读者自证，综合后：原式=。

通过第一次变形习题，从四个切入点，选择相应的方法解题都得到相同的结果，大部分学生的课堂上的排斥心理减少，积极性得到很大的提高，更体会到了数学的可爱之处。虽然后面几种解法相对于第一种来说繁琐复杂了很多，但这并不违背教学的目的，通过这样的教学，学生知识得到了巩固，更重要的是扩展了思维。

 四、原题变式（二）。  

变形以后第一换元法在此是行不通的，这道题的切入点依然是根式这个矛盾，要去掉根式，那么可能办得到吗？我们可以来试着解一下。两种思路，第一种去掉分母中的根式，可以通过分母有理化原题=，化简后的形式比原题来说更加复杂了，显然这个办法是行不通的。第二种思路就令，如论如何我们是无法办到的。难道就没办法了吗？没关系，我们还有另一个角度，通常可以进行三角代换。令，则，

原式==

=

=  （凑微分）

=

=。

虽然只有一种方法得到了计算结果，但是通过这样的分析可以让学生体会到从一个数学算式出发，应该先找到怎样的切入点，如何化解矛盾，找到最佳的解题方法。

 五、原题变式（三）。

在变式（二）的基础上，再将题目变成了（三）。变得有意思起来了，难度也开始增加，换元积分和分部积分开始连用。这一部分内容将在一元函数不定积分教学中的习题变式与一题多解（二）中再给大家做详细的介绍。

六、结束语

在变形（一）和变形（二）中，利用三角代换所使用到的辅助三角形如下：

图一  变式（一）

解法2

图一  变式（二）

通过一道简单的积分习题，通过三次变换，帮助学生建体会每种方法的综合使用，建立一种有针对性去解决题目中某个矛盾，或者某个元素的方法，比如说根式的矛盾、幂的矛盾、的矛盾，等等。即可以巩固知识，又做到的举一反三，还可以提高学生的积极性，在教学过程中的取到很好的教学效果。

（作者单位：江西中医药高等专科学校）