繁解  巧解  妙解

文/周正康

题目：解不等式：

1繁解——常规方法  高点强攻

解法一：

 或或

或或

或或

或或

∴原不等式的解集为

评注：解无理不等式的基本思路一般是把无理不等式化归为有理不等式，即通过合法的手段把不等式中的根号脱去，而去根号的常规方法是两边平方；但在操作过程中，还须注意相关函数的定义域，在两边平方前要保证两边为非负；上述给出的解法基本是按照这个思路进行的，由于思想方法非常简单，伴随而来的是繁杂的运算，尤如排球比赛的高点强攻战术，体力消耗很大．

2巧解——适时换元  巧借东风

解法二：∵  ∴可设 , 其中

则

∴

 

其中

∴原不等式的解集为

评注：两边平方当然不是脱去根号的唯一方法，若能把根号内的代数式化成一个完全平方，则可“由内而外”把根号很自然地脱去.本解法注意到原不等式中的代数结构和三角公式较接近,巧妙地利用三角换元, 借助于三角函数脱去根号,把不等式转化为解一个简单的三角不等式问题,简化了繁杂的运算.

3妙解——函数思想  直捣目标

解法三：令则的定义域为

由解得  

∵且∴的解集为

评注：众所周知，函数和不等式有着千丝万缕的联系，能灵活运用函数的思想分析解决问题是学习函数的最高境界；事实上，“解关于的不等式”等价于“问为何值时，函数的图象在轴上方”；注意到函数为连续函数，故只须求出方程的解，然后对分割所对的区间进行检验即可得到结论。

（作者单位：浙江省仙居中学高三（18）班）