实数大小比较命题的证明
本文在有关实数有理近似的基础上，对实数大小比较的一个命题进行了讨
论，给出了容易理解的证明，同时给出了如何求解命题中 n 的方法。
一、实数的有理近似
数学分析课程讲授实数这一节内容时，在实数的无限小数表示的基础上，
给出了有关实数的 n 位有理近似，定义如下（不妨设 x >0）：
" x Î R +， x = a 0 .a1 L a n L
定义实数的 n 位有理近似：
（1） n 位不足近似 : x n = a 0 .a1 L a n
（1） n 位过剩近似 : x n = x n +
11
= a 0 .a1 L a n + n
10 n10
该定义中，不足近似相当于截尾法，过剩近似相当于进位法。不难看出，
x的不足近似 x n，当 n增大时不减，即数列 {x n }单调递增；
x的过剩近似 x n，当 n增大时不增，即数列 { x n }单调递减。
二、实数大小比较的一个命题
命题：设 x = a 0 .a1 a 2 L 与 y = b0 .b1b2 L 为两个实数，则
x > y的等价条件是：存在非 负整数 n ，使得
xn > yn
其中 x n 表示 x的 n 位不足近似， n 表示 y的 n 位过剩近似 .y
[注 1]
-1-
三、例题
设 x =2.123， y =2.122, x > y
无限小数表示为 x = 2.12299 L， y = 2.12199 L
于是，n 位不足近似和过剩近似分别如下
y 0 = 2，0 = 3 > x 0 = 2, x 0 = 3y
y1 = 2.1，1 = 2.2 > x1 = 2.1, x1 = 2.2y
y 2 = 2.12，2 = 2.13 > x 2 = 2.12, x 2 = 2.13y
y 3 = 2.121，3 = 2.122 = x 3 = 2.122 , x 3 = 2.123y
y 4 = 2.1219，4 = 2.1220 < x 4 = 2.1229 , x 4 = 2.1230y
y 5 = 2.12199，5 = 2.12200 < x 5 = 2.12299 , x 5 = 2.12300y
LL
因此，我们得到了命题中的 n 至少为 4.
四、命题的证明
由该命题的充分条件，可得到
a 0 > b0 或 $非否整数 l (l < n ), 使得 a k = bk ( k = 0,1,2,L , l )而 a l +1 > bl +1
按实数的大小定义，即得 x > y .
或者由 $n， x 3 x n > y n 3 y 直接得到。
该命题的必要性证明如下（不妨假设 x > 0， y > 0 ）：
证法 1
-2-
Q x > y ,\ a 0 > b0 或 $k : a k -1 = bk -1 , a k > bk , k = 1,2,L ;
0 ￡ a i , bi ￡ 9, i = 0,1,L， a i , bi Î Z（不妨设 a 0 = b0，
类似可证 a 0 > b0 情形），于是
x - y = a 0 .a1 L a k - b0 .b1 L bk + 0.0 L a k +1 L - 0.0 L bk +1 L
3 0.0 L1 + 0.0 L a k +1 L - 0.0 L bk +1 L > 0.0 L a k +1 L
$m ( m 3 k + 1), a m > 0，如若不然，将 x = a 0 .a1 L a k
表为 x = a 0 .a1 L ( a k - 1)99 L
\x- y >
1
( m 3 k + 1)
m10
111
又 Q x ￡ x n = x n + n 得 x n 3 x - n ，且 y n = y n + n
101010
1212
￡ y + n ， xn - yn 3 x - y - n > m - n\
10101010
因此， "n 3 m + 1, 总有 x n > y n
证法 2
数列{ x n }单调递增有上界，数列 { x n }单调递减有下界 ,
1
，
n10
或者{[ x n，n ]}是一个区间套，结合区 间套定理可得x
且 x n ￡ x ￡ x n，n = x n +x
n ® ￥ : x n ® x.类似可得 y n ® y.
因此，存在 n, 使得 x n > y n .
如若不然，则由 "n， x n ￡ y n
取极限得到 x ￡ y，与 x > y矛盾.
五、命题中 n 的求解方法
该命题的证明可参见参考文献[1]附录Ⅱ第八节，相关内容比较多，本文前
述中我们给出了两种容易理解的证明方法。证法 1 中注意不能利用
a k > bk T x - y > 1 / 10 k
同时证法 1 给了我们具体求解命题中 n 的一种方法：
（1）比较 x 与 y 的无限小数表示，得到
k： a k > bk , a k -1 = bk -1
（2）确定 k 后，考察 x 的无限小数表示中 a k 后首个非零数 a m 得到 m ( m 3 k + 1)
-3-
（3）取 n 3 m +（ m 3 k + 1） 即可。1
附：当 n
3 m + 1 时，必有 x n > y n
当 n = m 时需进行验证。如例题中 x = 2.12299 L， y = 2.12199 L ，比较
得到 k = 3, m 3 4， n 3 5 ，事实上有 x 4 > y 4 .
[注1] 命题的直观解释：因为 x n当n增加时是递增的，即对 任何n，x n +1
3 x n，而 y n 是递减的，即对任何 n，n +1 ￡ y n .于是x n - y n 是递增的，且y
随着n增大与 x - y越来越接近。若 x - y > 0，则必定存在（需要证 明）
某个正整数 n，使得 x n > y n，而且从这个 n起不等式一直成立。
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