全等三角形教学中的思考

文/王君

摘 要：全等三角形从知识结构上来说十分重要,后面要学的线段的垂直平分线、角的平分线、等腰三角形、直角三角形等内容都要通过证明两个三角形全等来加以解决;在学生能力培养上,开始学习运用综合法来证明几何问题,无论是逻辑推理能力,还是分析解决问题的能力,都可在全等三角形的教学中得以培养和提高.因此,全等三角形的教学对后续学习会有一定影响。

《数学课程标准》对全等三角形的要求是让学生掌握基本的推理技能，从图形变换中建立空间观念,尝试用不同角度的方法来解决问题,发展几何直觉，通过观察、实践、归纳、类比、推断、验证获得数学思想，体验数学活动的探索性和创造性，感受证明的抽象性和严谨性。全等三角形是人教版八年级上册的知识点，它为学习后面的相似三角形和四边形做好铺垫。掌握全等三角形是做一系列复杂的几何证明题的前提，因为在几何证明中经常用到全等三角形证明线段相等和角度相等。所以在学习三角形全等这一章时，教师要利用图形变换来让学生识图，熟悉全等三角形的各类图形及掌握三角形全等的方法和策略, 注重文字语言、图形语言、符号语言三者之间的相互对应，学会用几何符号语言和图形之间联系学习几何，并指导学生应用这些策略来进行探究和分析,使学生可以在解题过程中灵活应用, 促进学生数学思维的形成和解题能力的提高。

充分利用模型、教具、多媒体等教学手段，直观演示图形的运动、变换过程，丰富学生的感性认识。强化基本图形的教学，掌握基本图形的特征。在学习全等三角形这一节时，先让学生准备两个能重合的三角形，利用图形的平移、翻折、旋转、轴对称等图形变换画出两个三角全等时的位置。

1、学生归纳如下：

   

2、让学生找出这些图形的特点：公共边，公共角，对顶角，角只重合一部分，边只重合一部分。

3、全等三角形知识梳理 定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形（注：相似三角形的特殊情况是 全等三角形）. 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应 边，互相重合的角叫做对应角. 所以，可以得出：全等三角形的对应角相等，对应边相等.。

（1）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

（2）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（3）有公共边的，公共边一定是对应边；

（4）有公共角的，公共角一定是对应角；

（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；

4、 三角形全等的判定公理及推论

（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称“边边边”或“SSS”），这一条说 明了三角形具有稳定性。

（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（“边角边” 或“SAS”）。

（3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（“角边角” 或“ASA”）。

（4）有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（“角角边” 或“AAS”）。

（5）直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（“斜 边，直角边” 或“HL”）。所以SSS,SAS,ASA,AAS,HL 均为判定三角形全等的定理. 注意：在全等的判定中，没有 AAA 和 SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形 状。

5、学生初学全等三角形时要重视变式图的教学。培养学生认真思索，善于独立思考的习惯。启发学生从多种角度分析，引出多种解题思路，培养思维的灵活性。善于将抽象条件具体化，复杂问题条理化，隐含条件明朗化，使题设条件更好地为证明服务。证明具体可分为三步走：

第一步，学会解决只证一次全等的简单问题，重在模仿.这期间要注意课本例题证明的模仿，使自己的证明语言准确，格式标准，过程简练。证明两个三角形全等，一定要写出哪两个三角形，这既为以后在复杂图形中有意识去寻找需要的全等三角形打下基础，更方便批阅者；同时要注意顶点的对应，以防对应关系出错；证全等所需的三个条件，条件不明显的要先证明， 最后用大括号括起来； 每一步要填注理由，训练思维的严密性.通过训练一段时间，对证明方向明确、内容变 化少的题目，要能熟练地独立思考证明，切实迈出坚实的第一步。并注意题目条件的变换，比较及图形的变换。例如：

如图1，AC=BD，∠1= ∠2求证:BC=AD  

变式1:  如图2，AC=BD,BC=AD求证:∠1= ∠2

变式2:  如图3，AC=BD,BC=AD求证:∠C=∠D

变式3:  如图4，AC=BD,BC=AD求证:∠A=∠B

 

                     图1                            图2                           图3                            图4

第二步，能在一个题 目中用两次全等证明过渡性结论和最终结论，学会分析。在学习等腰三角形全等、直角 三角形时逐步加深难度，学会一个题目中证两次全等，特别要学会用分析法有条不紊地 寻找证题途径，分析法目的性强，条理清楚，结合综合法，能有效解决较复杂的题目。 同时，这时的题目一般都不只一种解法，要求一题多解，比较优劣，总结规律。

第三步， 学会命题的证明，掌握添加辅助线的常用方法.命题的证明可全面培养数学语言（包括 图形语言）的运用能力，则在已知和未知间架起一座沟通的桥梁就要用到辅助线，这都 有一定的难度，切勿前功尽弃，放松努力.同时要熟悉一些基本图形的性质，如“角平 分线＋垂直＝全等三角形”。 作辅助线一般都是指中线、角平分线、三角形的高、平行线等等。

1、旋转法构造全等三角形

例如：已知：如图，正方形ABCD，∠EAF＝45°求证：

EF＝BE＋DF

分析：延长CB到M，使BM ＝ DF，连接AM。 此图包含两个全等变换：△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABM； △AEF与△ AEM关于直线AE对称。

2、作辅助线构造全等三角形

三角形的辅助线我们一般用得较多的是中线、角平分线和三角形的高。但是又是也会通过作平行线来构造全等三角形。

总之，教学实践时注意渗透图形变换，利用多媒体动画有意识地渗透平移、翻折、旋转变 换思想，提高学生学习数学的兴趣，增强学生的识图能力，发展学生的空间观念。为以后学习打下坚实基础。同时也让学生运用数学思考生活，运用数学思想分析、解决实际问题，提高学生应用数学的意识。

（作者单位：云南省昆明市昆明经济技术开发区第二中学）